Problemas Matemáticos

COLETÂNEA DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS INTERESSANTES:

PROBLEMA 1:

Nicolau gastou tudo o que tinha no bolso em cinco lojas. Em cada loja gastou R$ 1,00 a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Quando tinha Nicolau no bolso antes das compras?

(Talvez esse Nicolau seja um juiz fazendo compras em Miami).

PROBLEMA 2:

Existem cinco sacos com 20 moedas em cada saco. As moedas deveriam pesar 10 g cada uma. Mas só as moedas de três sacos pesam exatamente o devido. As de um saco pesam 9 g e de as de outro pesam 11 g cada uma.

Como reconhecer, com uma só pesagem, qual o saco das moedas mais pesadas e qual o saco das moedas mais leves? Esta pesagem faz-se com uma balança de um só prato com um mostrador que indica o peso exato do objeto no prato.

PROBLEMA 3:

Nicolau multiplicou dois números de cinco algarismos e tomou nota do resultado. Infelizmente, um algarismo (representado por um asterisco) ficou ilegível.

98.564 X 54.972 = 5.41*.260.208

Para saber o valor desse algarismo será necessário que Nicolau refaça a multiplicação ou existe método mais rápido?

PROBLEMA 4:

Nicolau sai de São Paulo, viajando com velocidade constante. Passa por um marco que contém dois algarismos.
Uma hora depois passa por outro marco, contendo os mesmos dois algarismos, mas em ordem inversa. Uma hora depois passa por um terceiro marco, contendo os mesmos algarismos, separados por um zero.
Qual é a velocidade a que vai?

PROBLEMA 5:

Este é um problema relativamente fácil, proposto pelo britânico Henry E. Dudeney (1847 – 1930).

Um velho e justo mercador de Bagdad deixa seus bens para serem divididos igualmente entre seus três filhos.

Entre os bens existiam 21 vasilhames: 7 cheios de mel; 7 com mel pela metade e 7 vasilhames vazios.

Como fazer a divisão eqüitativa de forma que cada dos filhos receba o mesmo número de vasilhames e a mesma quantidade de mel, sem que haja nenhuma transposição de qualquer quantidade de mel de um vasilhame para outro?


PROBLEMA 6:

Este é um “puzzle” atribuído a Sam Loyd.

Ao meio dia os ponteiros (“das horas e dos minutos”) estão na mesma posição. Isso também vai ocorrer várias vezes em outras “horas”.

A pergunta é: depois do meio dia, a que horas, minutos, segundos e fração de segundos os ponteiros estarão na mesma posição, ou seja, sobrepostos?

E, para os “mais matemáticos”, a que horas, minutos, segundos e fração de segundos, depois das 13:00 hs, os ponteiros farão um ângulo reto (90 graus)?


PROBLEMA 7:

Este é um antigo problema apresentado por Sam Loyd, mas cujas raízes da solução vêm de Euclides, na antiga Grécia.

Suponha que um lírio esteja aflorado 25 centímetros em relação à superfície da água. Esticando a planta até ela desaparecer, isso ocorre a uma distância de 55 centímetros em linha reta sobre a superfície da água, em relação à linha vertical da posição original da flor.

Qual a profundidade do lago?


PROBLEMA 8:

Pesadelo de Torcedor - baseado em problema apresentado pelo russo Boris A. Kordemsky

Torcedor (de que time fica à escolha do leitor) sonha que está num amplo salão vazio e fechado, chutando uma bola contra as paredes.

De repente, dá meia-noite e a bola se transforma numa esfera de aço de 20 cm de diâmetro. Ele, pobre torcedor, transforma-se numa pequena bola de plástico (do tipo bola de ping-pong) de 10 cm de diâmetro.

O problema é que a bola de aço começa a inchar, aumentando constantemente de tamanho, e sai loucamente em perseguição à bola de plástico para esmagá-la.

Desesperadamente, o “torcedor” fica fugindo. E a bola de aço vai inchando... Inchando de tal forma a aumentar o seu diâmetro em 5 cm a cada 15 minutos.

A partir de que horas, minutos e segundos, nesse sonho, o “torcedor” pode parar de fugir, ficar a salvo e ter certeza que não será mais esmagado?


PROBLEMA 9:

Motorista Matemático - também baseado em Boris A. Kordemsky.

Um número palíndromo é aquele que é “o mesmo” lido da esquerda para a direita e vice-versa. Exemplos: 343; 1.001; 245.542, etc.

Existem muitas “histórias” sobre esses números. Por exemplo, todo número palíndromo com um número par de dígitos é divisível por 11. Mas essa e outras histórias ficam para outra ocasião...

Vamos ao nosso problema.

Um motorista dirige em uma rodovia cuja velocidade máxima permitida é de 100 km/h. E ele obedece!

Então observa que o marcador de quilometragem indica 15.951 km, e diz pra si mesmo: “Um palíndromo - e isso aconteceu há um bom tempo”.

Mas exatamente duas horas depois o marcador apresenta um novo número palíndromo.

A que velocidade viaja o motorista matemático?


PROBLEMA 10:

Lucro ou Prejuízo - baseado em H. E Dudeney.

Depois de haver comprado duas bicicletas, uma pessoa resolveu vendê-las. E o fez por R$ 600,00 cada uma. Numa das vendas teve um prejuízo de 20% e na outra obteve um lucro de 20%. Qual foi resultado final das transações?

No total, a pessoa teve lucro ou prejuízo? De quanto?


PROBLEMA 11:

Se um tijolo se equilibra com um peso de 3/4 Kg mais 3/4 de um tijolo, qual o peso de um tijolo?


PROBLEMA 12:


Um livro custa R$ 1,00 mais a metade do seu preço.

Quanto custa o livro?


PROBLEMA 13:

Duas velas têm diferentes alturas e espessuras. A maior queima em 3,5 horas; a menor em 5 horas.

Depois de duas horas queimando as duas velas ficam com a mesma altura. Duas horas antes, que fração da maior era a altura da vela menor?


PROBLEMA 14:

Em certa viagem estive num local peculiar. Durante o dia o meu relógio adiantava e durante a noite atrasava. Eu notava que no início da noite ele estava 1/2 minuto adiantado, mas durante a noite ele atrasava 1/3 de minuto, redundando em 1/6 de minuto de adiantamento.

Na manhã do dia 1º de maio acertei o relógio. Em que data ele esteve adiantado 5 minutos?


PROBLEMA 15:

Uma bola elástica é deixada cair da Torre de Pisa de uma altura de 55,863 m até bater no chão e, após cada queda, sobe 10% da altura precedente.

Qual a distância total percorrida pela mesma até parar.


PROBLEMA 16:

Um cavalo e uma mula caminhavam juntos levando no lombo sacos pesados. Lamentava-se o cavalo de sua pesada carga quando a mula lhe disse: “De que se queixa? Se eu levasse um dos seus sacos, minha carga seria o dobro da sua. E se eu lhe desse um saco, sua carga seria igual à minha”.

Quantos sacos levava o cavalo e quantos levava a mula?


PROBLEMA 17:

Em ambas margens de um rio existem duas palmeiras, uma em frente da outra. A altura de uma é 9 metros e da outra é de 4 metros. A distância entre os seus troncos é de 25 metros. Na copa de cada palmeira está um pássaro.

Subitamente os dois pássaros descobrem um peixe que aparece na superfície da água, entre as duas palmeiras. Os pássaros lançam-se sobre ele e alcançam-no ao mesmo tempo.

A que distância do tronco da palmeira maior apareceu o peixe?

PROBLEMA 18:

Um barco a motor leva (sem parar) 5 horas para descer o rio desde a cidade A até a cidade B. Na volta, avança contra a corrente (na sua marcha normal e também sem parar) durante 7 horas.

Quantas horas necessitará uma jangada para ir da cidade A a cidade B, seguindo a velocidade da corrente?


PROBLEMA 19:

Um automóvel percorreu a distância entre duas cidades a uma velocidade de 60 km/h e fez a viagem de volta a 40 km/h.

Qual foi a velocidade média feita nos dois trajetos?


PROBLEMA 20:

Quando passeavam por uma cidade três estudantes observaram que um motorista passou num sinal vermelho.

Nenhum deles recordava o número da placa que tinha quatro algarismos, mas cada um deles notou uma particularidade de tal número. Um deles notou que os dois primeiros algarismos eram iguais. O segundo reparou que também os dois últimos algarismos eram iguais. E, por último, o terceiro garantiu que o número era um quadrado exato.

Qual é o número da placa?


PROBLEMA 21:

Vamos considerar esta situação:

Relógio de ponteiros (analógico);

Exatamente 5 horas (ou 17 horas) - ponteiro pequeno no 5 e grande no 12.

A) Qual o instante, minutos e segundos depois das 5 horas (ou 17), no qual os ponteiros formarão o primeiro ângulo reto (noventa graus)?

B) Qual o instante, minutos e segundos depois das 5 horas (ou 17), no qual os ponteiros irão coincidir (estarão superpostos)?

C) Num dado instante, depois das 5 horas (ou 17), os ponteiros formarão 30 graus. Em seguida o ponteiro grande ultrapassa o pequeno e se conformará, algum tempo depois, um ângulo de 60 graus entre os ponteiros. Qual o tempo que decorrerá entre essas duas situações?


PROBLEMA 22:

Vamos considerar esta situação:

Relógio de ponteiros (analógico);

Algarismos romanos (só para dar um “toque de nobreza” ao problema e que pode ser o mesmo relógio do problema anterior).

A) A que horas, minutos e segundos, entre as duas e três horas, estará o ponteiro dos minutos tão distante do VI quanto o ponteiro das horas do XII?

B) A que horas, pela primeira vez depois do meio dia, o ponteiro dos minutos estará tão próximo do XII quanto o ponteiro das horas estará tão distante do XII?


PROBLEMA 23:

Um carro acelera do repouso até a velocidade de 8 K, em km/h, durante K/5 minutos. Ele continua com essa velocidade constante por K minutos. Em seguida, desacelera uniformemente e leva outros K/5 minutos até parar, tendo viajado (K – 1) quilômetros. Essa viagem durou um número inteiro em minutos. Quantos?


PROBLEMA 24:

Um cubo com aresta de 1 m é encostado numa parede. Uma escada de 15½ m (raiz quadrada de 15 metros) é apoiada nessa parede, tangenciando a aresta livre horizontal do cubo da face n paralela à parede. A que altura a escada se apóia na parede?

PROBLEMA 25:

Sala de espera de um consultório, com dimensões estranhas. Horário da consulta: 17:00 hs. O paciente, matemático, olhando para um relógio fixado a uma parede retangular de largura igual a 5 m, notou, alguns minutos antes daquela hora, que os ponteiros do relógio, em sentidos opostos, estavam paralelos a uma diagonal dessa parede. Que horas, exatamente, eram quando notou isso e qual a altura da parede?


DIVIRTAM-SE!

Número Natural

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, 3, ...). Em alguns contextos, número natural é definido como um número inteiro positivo, i.e., o zero não é considerado como um número natural.

O uso mais comum deles é a contagem ("Há 4 quadros na parede") ou a ordenação ("Esta é a 2ª maior cidade do país"). Propriedades dos números naturais como, por exemplo, divisibilidade e a distribuição dos números primos, são estudadas na Teoria dos Números. Propriedades que dizem respeito a contagens e combinações são estudadas pela combinatória.

Uma construção do conjunto dos número naturais que não depende do conjunto dos números inteiros foi desenvolvida por Giuseppe Peano no século XIX e costuma ser chamada de Axiomática de Peano.

Números Inteiros

Os números inteiros são constituídos dos números naturais {0, 1, 2, ...} e dos seus simétricos {0, -1, -2, ...}. Dois números são opostos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, no ensino pré-universitário, chamam-se a estes números inteiros relativos.
O conjunto de todos os inteiros é denominado por Z (Mais apropriadamente, um Z em blackboard bold, ), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.
Os resultados das operações de soma, subtração e multiplicação entre dois inteiros são inteiros. Dois inteiros admitem relações binárias como =, > e <.
Matemáticos expressam o fato de que todas as leis usuais da aritmética são válidas nos inteiros dizendo que (Z, +, *) é um anel comutativo.
A ordem de Z é dada por ... < -2 < -1 < 0 < 1 < 2 < ... e faz de Z uma ordenação total sem limite superior ou inferior. Chama-se de inteiro positivo os inteiros maiores que zero ; o próprio zero não é considerado um positivo. A ordem é compatível com as operações algébricas no seguinte sentido:
1. se a < b e c < d, então a + c < b + d
2. se a < b e 0 < c, então ac < bc
Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.
Os inteiros não formam um corpo já que, por exemplo, não existe um inteiro x tal que 2x = 1. O menor corpo que contém os inteiros são os números racionais.
Uma importante propriedade dos inteiros é a divisão com resto: dados dois inteiros a e b com b≠0, podemos sempre achar inteiros q e r tais que:a = b q + r e tal que 0 <= r < |b| (veja módulo ou valor absoluto). q é chamado o quociente e r o resto da divisão de a por b. Os números q e r são unicamente determinados por a e b. Esta divisão torna possível o Algoritmo Euclidiano para calcular o máximo divisor comum, que também mostra que o máximo divisor comum de dois inteiros pode ser escrito como a soma de múltiplos destes dois inteiros.
Tudo isto pode ser resumido dizendo que Z é um domínio euclidiano. Isto implica que Z é um domínio de ideal principal e que todo número inteiro podem ser escrito como produto de números primos de forma única (desde que o 1 não seja considerado primo).
Este é o Teorema Fundamental da Aritmética.
O ramo da matemática que estuda os inteiros é chamado de teoria dos números.

Inequação

Inequação é uma sentença matemática, com uma ou mais incógnitas, expressas por uma desigualdade, diferenciando da equação, que representa uma igualdade. Elas são representadas através de relações que não são de equivalência.

Inequação de 1º Grau



Inequação do 2º Grau

Equação

A equação tem como obetivo estudar e determinar soluções dos problemas do dia-a-dia nas diversas áreas do conhecimento. Mas a utilização da equação na resolução de problemas matemáticos é bastante recente.

Equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade que envolve números desconhecidos representados por letras.

Equação do 2º Grau

Equação do 1º Grau

Geometria

Tão visível e vivenciada quanto despercebida
A geometria se vê,
No contorno da peneira,
No formato da tv,
No gingado da capoeira,
Nas portas e nas janelas,
Na forma do pãozinho,
Nas tamancas e chinelas,
Na xícara do cafezinho,
Na fachada das casas,
Nas curvas do caminho,
Das borboletas, nas asas,
E também no meu cantinho,
Nos sólidos geométricos,
Das rochas a beira mar,
Ou nos cristais assimétricos,
Que não flutuam no ar.
A esfera que gira no espaço,
Em movimento de rotação,
Na translação está o passo,
Para a sua evolução.
E, então?
Chegamos à conclusão,
De a geometria estar,
Em todo e qualquer lugar,
Na beleza dos abrolhos,
Nas estrelas do mar,
Ou no formato dos olhos,
Que nos enchem de amor sem par,
Deus deu ao homem inteligência,
Para aprender a contar,
E evoluindo na ciência,
Sua vida melhorar,
Da geometria a importância,
Levou-o a compreender,
E diante das circunstancias
Seus cálculos desenvolver.

Brincando com o Tangran

Construindo o Tangran

Tangram

As peças do Tangram
O desafio aqui é formar esta figura com os 7 tansTangram é um quebra-cabeça chinês formado por 7 peças (5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo) Com essas peças podemos formar várias figuras, utilizando todas elas sem sobrepô-las. Segundo a Enciclopédia do Tangram é possível montar mais de 1700 figuras com as 7 peças. Esse quebra-cabeça, também conhecido como jogo das sete peças, é utilizado pelos professores de matemática como instrumento facilitador da compreensão das formas geométricas. Além de facilitar o estudo da geometria, ele desenvolve a criatividade e o raciocínio lógico, que também são fundamentais para o estudo da matemática. Não se sabe ao certo como surgiu o Tangram, apesar de haverem várias lendas sobre sua origem. Uma diz que uma pedra preciosa se desfez em sete pedaços, e com elas era possível formar várias formas, tais como animais , plantas e pessoas. Outra diz que um imperador deixou um espelho quadrado cair, e este se desfez em 7 pedaços que poderiam ser usados para formar várias figuras. Segundo alguns, o nome Tangram vem da palavra inglesa "trangam", de significado "puzzle" ou "buginganga". Outros dizem que a palavra vem da dinastia chinesa Tang, ou até do barco cantonês "Tanka", onde mulheres entretiam os marinheiros americanos. Na Ásia o jogo é chamado de "Sete placas da Sabedoria".

Poesia Matemática
Millôr Fernandes

Às folhas tantas do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa".
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer sociedade.

Regra de Três Composta - Parte 2

Regra de Três Composta

Regra de Três Simples

Estudando Tabuada

Trabalhando com a Matemática

Atividade 1: Vamos medir o maior comprimento de uma folha de papel A4. Para tanto, utilizaremos diferentes unidades de medida.
Preparação para a atividade: Devem ser levados pedaços de lã ou fitas coloridas previamente cortadas, por exemplo, da seguinte maneira:
Fita vermelha com comprimento igual ao da folha A4
Fita azul com metade do comprimento da folha A4
Fita amarela com cerca de 1/3 do comprimento da folha A4
Fita laranja com o dobro do comprimento da folha A4
Fita rosa de qualquer tamanho (importante não ser metade nem 1/3) menor que o comprimento da folha A4
Fita lilás de qualquer tamanho (importante não ser dobro) maior que o comprimento da folha A4.
a) Divida sua turma em grupos com 6 pessoas cada e dê ao grupo um kit de fitas completo. Peça que eles meçam a folha A4 e registrem por escrito os resultados encontrados, justificando-os.
b) Complete coletivamente (no quadro) a tabela abaixo a partir dos resultados obtidos no item
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5 Grupo 6
Fita vermelha
Fita azul
Fita amarela
Fita laranja
Fita rosa
Fita lilás
c) O que ocorreu quando a folha foi medida com a fita lilás? Justifique.
Obs:
· É importante discutir nesta atividade o que acontece com as medições encontradas por fitas de mesma cor observando os diferentes registros encontrados pelos grupos e visualizados conjuntamente na tabela acima.
· Podem surgir resultados diferentes expressos como números decimais ou fracionários principalmente para aquelas fitas que foram intencionalmente planejadas para que não coubessem um número inteiro de vezes na folha de papel. Explore essa diversidade, destacando que não há uma medida exata (certo ou errado), salvo resultados absolutamente discrepantes dos demais encontrados.


Atividade2:
Use uma régua graduada em centímetros, para desenhar um segmento de 5 cm de comprimento. Use o espaço abaixo.
A seguir, divida este segmento em 10 partes iguais.


Atividade 3:
Use o jornal para construir um quadrado de lados 1m. Este quadrado é a unidade de área conhecida como m2 (metro quadrado).
(a) Use esta unidade de área para medir a área do chão da sala de aula.
(b) Ainda usando jornal, construa meio metro quadrado (1/2 m2 ou 0,5 m2)


Estas atividades foram retiradas do material trabalhado no Pró-Letramento.

Tabela de 100

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100



↑ ↓ Contagem de 10 em 10.

→ Adiciona de um (1) em (1).

← Subtrai de um (1) em 1(um)



Adição: Marca o menor número e conta até encontrar o número maior. O resultado está na CASA.

Subtração: Marca os dois números, sai do menor de encontro ao maior. O resultado é o que se FALA.


Obs.: Cada cursista recebeu 1(uma) tabelinha e fizeram várias operações usando a tabela de 100.

Atividade do Pró-Letramento
Mércia

A Mágica da Adição

Um aluno diz um número com uma determinada quantidade de algarismos.
Você acha a resposta (número dito por ele menos dois), coloca o dois antes do número, do qual subtraiu o dois (este será o resultado).
O aluno diz um outro número com a mesma quantidade de algarismos.
Você diz um número com a mesma quantidade de algarismos e cuja soma com o que foi dito por ele seja 9.
O aluno diz um outro número com a mesma quantidade de algarismos.
Você diz um outro número com a mesma quantidade de algarismos e cuja soma com o que foi dito por ele também seja 9.
Faz-se a adição e confere o resultado com o que foi defindido no início da operação e estes serão iguais.

Ex.: 23 → 23 - 2 = 21 → 221 (Resultado)

23 (Aluno)
45 (Aluno)
54 (Professor)
69 (Aluno)
+ 30 (Professor)
_____
221 (Resultado)

Mércia (Atividade do Pró-Letramento)

Geometria

Diferença entre aresta, face e vértice:

Aresta é o encontro de duas faces, o que popularmente chamamos de "quina", já ouviu a expressão: - bati na quina da mesa?
Então imagine uma caixa fechada, o que chamamos de lado é a face, e os cantos são os vértices, que são os encontros das arestas.

Definição em geometria:
As partes planas são as faces.
A intersecção de duas faces é a aresta.
O ponto comum a três ou mais arestas é o vértice.

Mércia